Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；

(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；

(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．

Answer 1

【答案】(1)点C的坐标为(2，3+2)；(2)OA＝3；(3)OC的最大值为8，cos∠OAD＝．

【解析】

(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝CD＝2，DE＝，再由∠OAD＝30°知OD＝AD＝3，从而得出点C坐标；

(2)先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝知S△ODM＝，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝36，xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；

(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN得，据此求得MN＝，ON＝，AN＝AM﹣MN＝，再由OA＝及cos∠OAD＝可得答案．

(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，

∴∠CDE+∠ADO＝90°，

又∵∠OAD+∠ADO＝90°，

∴∠CDE＝∠OAD＝30°，

∴在Rt△CED中，CE＝CD＝2，DE＝＝2，

在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，

∴OD＝AD＝3，

∴点C的坐标为(2，3+2)；

(2)∵M为AD的中点，

∴DM＝3，S△DCM＝6，

又S四边形OMCD＝，

∴S△ODM＝，

∴S△OAD＝9，

设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，xy＝9，

∴x2+y2＝2xy，即x＝y，

将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，

解得x＝3(负值舍去)，

∴OA＝3；

(3)OC的最大值为8，

如图2，M为AD的中点，

∴OM＝3，CM＝＝5，

∴OC≤OM+CM＝8，

当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，

连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，

∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，

∴△CMD∽△OMN，

∴，即，

解得MN＝，ON＝，

∴AN＝AM﹣MN＝，

在Rt△OAN中，OA＝，

∴cos∠OAD＝．