Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于点E，⊙O的半径为4，∠BAD=60°，∠BCA=15°，则AE=________．

Answer 1

分析：根据圆周角定理、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定进行求解．
解答：解：连接OA、OC、OB，OC交于BD点F，
∵AC平分∠BAD交BD于点E，∠BAD=60°，
∴∠BAC=∠CAD=30°，
由圆周角定理知，弧BC=弧CD，∠BOC=60°，
∴BC=CD，∠CBD=∠BDC=30°，
又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∠BOC=60°，
∵∠ACB=15°，
∴∠AOB=30°，∠ADF=15°，∠AOC=90°
∵OA=OC=4，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AC==4，
∵点C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD，
∵∠CBD=30°，∠CBO=60°
∴∠OBF=∠CBF=30°，
∴△BFO≌△BFC，
∴OF=CF，即点F是OC的中点，
∵AO∥BD，
∴△CEF∽△CAO，且相似比为CF：CO=1：2，
∴CE：CA=1：2，
则AE=AC=2．
点评：本题利用了圆周角定理，等腰直角三角形和等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质求解．