Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD经过⊙O上一点C，AD⊥DC，AC平分∠DAB．
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AD=2，AC=

5

，求AB的长．

Answer 1

证明：（1）连OC．
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
又OC=OA，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD．
∴∠OCD=180°-∠ADC=90°．
又OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．（4分）

（2）连接BC；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
由（1）可知∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴

AC

AB

=

AD

AC

而AD=2AC=

5

．
∴

5

AB

=

2

5

，
∴AB=

5

2

，
故AB的长为

5

2

．（8分）