题目内容

阅读理解与应用
如图，⊙O₁与⊙O₂交于A，B两点，C，D是⊙O₁上的两点，E，F是⊙O₂上的两点，BA的延长线、DC的延长线、FE的延长线都交于点P．
通过证明△PBC与△PDA相似，得到的比例式化成等积式为：PC•PD=PA•PB．
问题：（1）PE•PF=PA•PB成立吗？为什么？
（2）直接写出PC•PD与PE•PF的数量关系式．

分析：（1）根据∠BPE=∠FPA，∠PBE=∠PFA，得出△PBE∽△PFA，进而利用相似三角形的性质得出PE•PF=PA•PB；
（2）利用△PBC与△PDA相似，得到的比例式化成等积式为：PC•PD=PA•PB，再由（1）得出PE•PF=PA•PB，即可得出PC•PD=PE•PF．

解答：解：（1）PE•PF=PA•PB成立．
理由如下：
在△PBE和△PFA中，
∵∠BPE=∠FPA，∠PBE=∠PFA，
∴△PBE∽△PFA．

∴

PE

PA

=

PB

PF

．
∴PE•PF=PA•PB．

（2）PC•PD=PE•PF
理由：∵∠CPB=∠APD，∠PBC=∠PDA，
∴△BPC∽△DPA，
∴

PC

PA

=

PB

PD

，
∴PC•PD=PA•PB，
∵由（1）得：PE•PF=PA•PB，
∴PC•PD=PE•PF．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据圆周角定里得出∠PBE=∠PFA是解题关键．

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阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
则S△ABD=S△ACD=

S△ABC．
理由：∵BD=CD，∴S△ABD=

CD×AH=S△ACD=

S△ABC，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索
在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
（1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S₁，则S₁=

（用含a的代数式表示）；
（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S₂，则S₂=

（用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S₃，则S₃=

（用含a的代数式表示）．

拓展与应用
如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积？

阅读材料：
如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r₁，r₂，腰上的高为h，连接AP，则S_△ARP+S_△ACP=S_△ABC，即：

AC•h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）理解与应用：
如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，且BE=BC，F为CE上一点，FM⊥BC于M，FN⊥BD于N，试利用上述结论求出FM+FN的长．
（2）类比与推理：
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r₁，r₂，r₃，等边△ABC的高为h，试证明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（3）拓展与延伸：
若正n边形A₁A₂…A_n，内部任意一点P到各边的距离为r₁r₂…r_n，请问r₁+r₂+…+r_n是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值．

如图1至图5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃、⊙O₄均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．

阅读理解：

(1)如图1，⊙O从⊙O₁的位置出发，沿AB滚动到⊙O₂的位置，当AB＝c时，⊙O恰好自转1周．

(2)如图2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A－B－C滚动，在点B处，必须由⊙O₁的位置旋转到⊙O₂的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O₁BO₂＝n°，⊙O在点B处自转周．

实践应用：

(1)在阅读理解的(1)中，若AB＝2c，则⊙O自转________周；若AB＝l，则⊙O自转________周．在阅读理解的(2)中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转________周；若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转________周．

(2)如图3，∠ABC＝90°，AB＝BC＝c．⊙O从⊙O₁的位置出发，在∠ABC外部沿A－B－C滚动到⊙O₄的位置，⊙O自转________周．

拓展联想：

(1)如图4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．

(2)如图5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．

阅读与理解：
三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，
即如图1，AD是△ABC中BC边上的中线，
则 $数学公式$ ．
理由：∵BD=CD，∴ $数学公式$ = $数学公式$ ，
即：等底同高的三角形面积相等．
操作与探索
在如图2至图4中，△ABC的面积为a．
（1）如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S₁，则S₁=（用含a的代数式表示）；
（2）如图3，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S₂，则S₂=（用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图3的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图4）．若阴影部分的面积为S₃，则S₃=__（用含a的代数式表示）．

拓展与应用
如图5，已知四边形ABCD的面积是a，E、F、G、H分别是AB、BC、CD的中点，求图中阴影部分的面积？