Question

如图，△ABC中，∠ABC=90゜，AB=6，BC=8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF，OE、OF分别交射线AB、BC于E、F，则EF的最小值为

5

．

Answer 1

分析：首先过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，易得四边形OMBN是矩形，可得△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，又由AB=6，BC=8，O为AC的中点，可求得OM与ON的长，然后由勾股定理求得MN的长，又由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，求得答案．

解答：解：过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥BC于点N，
∵∠ABC=90゜，
∴四边形OMBN是矩形，
∴OM∥BC，ON∥AB，
∴△AOM∽△ACB，△CON∽△CAB，
∴OM：BC=OA：AC，ON：AB=OC：AC，
∵O为AC的中点，
∴OM=

1

2

BC=

1

2

×8=4，ON=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
∴MN=

OM2+ON2

=5，
由垂线段最短，可得当OE与OM重合，即EF与MN重合时，EF最短，
∴EF的最小值为5．
故答案为：5．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．