Question

如图，在直角坐标系中，直线y=-

3

4

x+6与坐标轴相交于A、B两点，以AB边在第一象限内作矩形ABCD，使AD=5
（1）求点A、B的坐标；
（2）过点D作DH⊥x轴于H，求证：△DHA∽△AOB；
（3）求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）在解析式y=-

3

4

x+6中令y=0，x=0就可以求出A，B的坐标；
（2）求证∠1=∠2，再根据∠AOB=∠ADH=90°，就可以证出结论；
（3）根据△DHA∽△AOB，可以求出DH，AH就可以写出D的坐标．

解答：解：（1）∵直线AB的解析式为y=-

3

4

x+6，
∴令y=0，则x=8；令x=0，则y=6．
∴A（8，0），B（0，6）；

（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°．
又∵DH⊥x轴于H，
∴∠AHD=90°，
∴∠2=∠1，
又∵∠DHA=∠AOB=90°，
∴△DHA∽△AOB；

（3）∵由（1）知，A（8，0），B（0，6），
∴AO=8，BO=6，
则在Rt△AOB中，BA=

AO2+BO2

=10．
由（2）知，△DHA∽△AOB．则

DH

AO

=

AH

BO

=

AD

BA

，即

DH

8

=

AH

6

=

5

10

，
∴DH=4，AH=3，
∴D（11，4）．

点评：本题主要考查了函数与坐标轴的交点的求法，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．