Question

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P以每秒2个单位的速度从B点出发沿着BC向C移动，同时动点Q以每秒1个单位的速度从点C出发沿CD向D移动．
（1）几秒时，△PCQ的面积为3？
（2）几秒时，由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？

Answer 1

解：（1）设t秒后△PCQ的面积为3，则PB=2t，则PC为8-2t，CQ=t，
根据题意得：（8-2t）t=3
解得：t=1或t=3
答：1秒或3秒后，△PCQ的面积为3；
（2）要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ
∴只要=或者=
∵AB=6，BC=8
∴只要=或者=
设时间为
则PC=8-2t，CQ=t
∴t=或者t=，
∴当t=或者t=时，由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似；
分析：（1）设t秒后△PCQ的面积为3，首先表示出线段PC和线段CQ，然后利用其面积为3列出有关t的方程求解即可；
（2）有两种情况，△ABC∽△PCQ或者△ABC∽△QCP，根据线段的比例关系求解．
点评：本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的性质，特别是第二问中分两种情况讨论是解题的关键．