Question

【题目】如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，⊙的半径为个单位长度，点为直线上的动点，过点作⊙的切线、，切点分别为、，且．

（1）判断四边形的形状并说明理由．

（2）求点的坐标．

（3）若直线沿轴向左平移得到一条新的直线，此直线将⊙的圆周分得两段弧长之比为，请直接写出的值．

（4）若将⊙沿轴向右平移（圆心始终保持在轴上），试写出当⊙与直线有交点时圆心的横坐标的取值范围．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1）OCPD是正方形；（2）（2,4）或（4,2）；（3）±；（4）．

【解析】试题分析: （1）四边形OCPD是正方形．如图，连接OC、OD．根据切线的性质和已知条件得知四边形OCPD的三个内角是90°，则该四边形是矩形．又由OC=OD，所以四边形OCPD是正方形；（2）连接OP，由为正方形，可得，设，由和勾股定理可得，解得：或．所以点坐标为或；（3）已知平移后的新直线交圆于，分得的两段弧长之比为，可知分得的劣弧是圆周的，因直线与轴夹角为，，可得，所以当为圆周时，直线与坐标轴的交点恰好是⊙与坐标轴的交点，

即可得当平移到位置时，；当平移到位置时，，所以

的值为或；（4）如图，⊙沿轴向右平移过程中分别在⊙处，⊙处与直线相切，则圆在落在，之间均满足题意，由此即可求得圆心的横坐标的取值范围．

试题解析:

（）四边形为正方形．

理由如下：连接、，易知，，

又，

∴四边形为矩形，

又，

∴四边形为正方形．

（）连接，

∵为正方形，

∴，

∵在直线上，

设，

由得：

，

解得：或．

∴点坐标为或．

（）平移后的新直线交圆于，分得的两段弧长之比为，

∴分得的劣弧是圆周的，

∵直线与轴夹角为，，

∴，

当为圆周时，直线与坐标轴的交点恰好是⊙与坐标轴的交点，

当平移到位置时，；

当平移到位置时，，

∴的值为或．

（）如图，⊙沿轴向右平移过程中分别在⊙处，⊙处与直线相切，

则圆在落在，之间均满足题意，

在⊙处相切时，为等腰直角三角形，

∴，．

∴，同理，在⊙处相切时，，

∴，

∴当⊙与直线有交点时，圆心的横坐标的取值范围为．