题目内容

如图1，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂两个三角形（如图2），将纸片△AC₁D₁沿直线D₂B（AB）方向平移（点A、D₁、D₂、B始终在同一直线上），当点D₁与点B重合时，停止平移．在平移过程中，C₁D₁与BC₂交于点E，AC₁与C₂D₂、BC₂分别交于点F、P．
（1）当△AC₁D₁平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D₁E与D₂F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D₂D₁为x，△AC₁D₁与△BC₂D₂重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，并求出函数y的最值．

解：（1）D₁E=D₂F．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂，
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，
∴∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F；同理：BD₁=D₁E，
又∵AD₁=BD₂，
∴AD₁-D₁D₂=BD₂-D₁D₂，
∴AD₂=BD₁，
∴D₁E=D₂F；

（2）由题意得AB=10，AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5，
又∵D₂D₁=x，
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，
∴C₂F=C₁E=x，
在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距离就是△ABC的AB边上的高，
∴根据△ABC的面积可得高为 $\text{[math]}$ ，
设△BED₁的BD₁边上的高为h，可证△BC₂D₂∽△BED₁，
∴ $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ ，S_△BED1= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90°，
又∵∠C₂=∠B，sinB= $\text{[math]}$ ，cosB= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，S_△FC2P= $\text{[math]}$ PC₂×PF= $\text{[math]}$ ，
∴y=S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P= $\text{[math]}$ S_△ABC- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴函数y的最小值是8．
分析：（1）由题意可得C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，根据两直线平行，同位角相等，及等腰三角形的性质，可得到AD₂=D₂F；同理：BD₁=D₁E，即可得出D₁E=D₂F．
（2）由题意，D₂D₁=x，则D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距离就是△ABC的AB边上的高，根据△ABC的面积可得高为 $\text{[math]}$ ，设△BED₁的BD₁边上的高为h，可证△BC₂D₂∽△BED₁，所以 $\text{[math]}$ ；分别表示出△BED₁和
△FC₂P的面积，根据重叠部分面积为y=S_△BC₂D₂-S_△BED₁-S_△FC₂P，可求出y与x的函数关系式，求出最小值即可；
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质和二次函数的最值等知识，本题涉及的知识点较多，考查了学生的综合运用能力．