Question

若抛物线y=x²-（2m+4）+m²-10与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）．顶点为C．
（1）求m的范围；
（2）若AB=2

2

，求抛物线的解析式；
（3）若△ABC为等边三角形，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线与x轴有两个交点可以得到相应的一元二次方程有两个不同的实数根，利用根的判别式得到有关m的不等式即可求得m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系表示出线段AB的长，从而得到有关m的方程，求得m的值即可确定抛物线的解析式；
（3）用m表示出抛物线的顶点坐标，然后根据等边三角形的性质得到有关m的方程求得m的值即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²-（2m+4）+m²-10与x轴轴交于A、B两点，
∴方程x²-（2m+4）+m²-10=0有两个不相等的实根，
∴△＞0，
即：（2m+4）²-4（m²-10）＞0，
∴m的范围为m＞-

7

2

；

（2）由根与系数的关系得：x₁+x₂=2m+4，x₁x₂=m²-10，
又∵AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(2m+4)2-4(m2-10)

=

16m+56

，
∴

16m+56

=2

2

，
解得：m=-3．
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-1；

（3）抛物线的顶点C的坐标为（m+2，-4m-4），AB=

16m+56

，
若△ABC为等边三角形，则|-4m-14|=

1

2

×

16m+56

×tan60°，
解得：m=-

11

4

．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，特别是二次函数与一元二次方程的结合更是中考的重点和难点．