Question

如图，在等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．

（1）证明：△ABE≌△C₁BF；

（2）证明：EA₁=FC；

（3）试判断四边形ABC₁D的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵等腰△ABC中，AB=BC，∠A=30°将△ABC绕点B顺时针旋转30°，得△A₁BC₁，

∴AB=BC₁=A₁B=BC，∠ABE=∠C₁BF，∠A=∠C₁=∠A₁=∠C，

在△ABE和△C₁BF中，

，

∴△ABE≌△C₁BF（ASA）；

（2）证明：∵△ABE≌△C₁BF，

∴EB=BF．

又∵A₁B=CB，

∴A₁B﹣EB=CB﹣BF，

∴EA₁=FC；

（3）答：四边形ABC₁D是菱形．

证明：∵∠A₁=∠C=30°，∠ABA₁=∠CBC₁=30°，

∠A₁=∠C=∠ABA₁=∠CBC₁．

∴AB∥C₁D，AD∥BC₁，

∴四边形ABC₁D是平行四边形

∵AB=BC₁，

∴四边形ABC₁D是菱形．