Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连接DE、OE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）如果⊙O的半径是

3

2

cm，ED=2cm，求AB的长．

Answer 1

分析：（1）可证明DE是⊙O的切线，只要证得∠ODE=90°即可．
（2）先利用勾股定理求出OE的长，再利用中位线定理，可求出AB的长．

解答：（1）证明：连接OD，（1分）
∵O、E分别是BC、AC中点，
∴OE∥AB．
∴∠1=∠2，∠B=∠3．
∵OB=OD，
∴∠2=∠3．
∵OD=OC，OE=OE，
∴△OCE≌△ODE．
∴∠OCE=∠ODE．
∵∠C=90°，
∴∠ODE=90°．（2分）
∴DE是⊙O的切线．（3分）

（2）解：在Rt△ODE中，
∵OD=

3

2

，DE=2，
∴OE=

5

2

．（5分）
又∵O、E分别是CB、CA的中点，
∴AB=2•OE=2×

5

2

=5．
∴所求AB的长是5cm．（7分）

点评：本题考查三角形的判定和性质、以及切线的判定，还有勾股定理、中位线定理等知识的综合运用．