Question

【题目】如图，以边和为边作等边和，连接，，

判断与的数量关系，并求与的夹角的度数；

继续探索，如图，以的和为边作正方形和，连接、，判断和的数量关系，并求出此时与的夹角；

如图中、分别是、的中点，、分别是正方形的中心，顺次连接，判断四边形的形状并证明．

Answer 1

【答案】(1)，的度数为；(2)且与的夹角为；(3) 四边形为正方形，理由详见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，再求出∠BAE=∠DAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DC，全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠ACD，然后∠FEC+∠FCE=120°，再根据三角形内角和定理计算即可得解；（2）根据正方形的性质可得AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，再求出∠BAH=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABH和△AFC全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=FC，全等三角形对应角相等可得∠AFC=∠ABH，然后∠EFC+∠EBH=180°，设BH、CF相交于点G，再根据四边形的内角和定理计算即可求出∠BGF=90°，根据垂线的定义即可得证；根据正方形的对角线互相平分可得点P、Q分别是BF、CH的中点，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得PN∥BH，PN=BH，MQ∥BH，MQ=BH，NQ∥CF，NQ=CF，PM∥CF，PM=CF，再根据（2）的结论可得BH=CF，BH⊥CF，然后求出MP=PN=NQ=MQ，从而判定四边形MPNQ是菱形，再根据BH⊥CF求出PN⊥NQ，根据有一个角是直角的菱形是正方形证明．

∵和都是等边三角形，

∴，，，

∴，

即，

在和中，，

∴，

∴，，

∴，

∴；

故，的度数为；

在正方形和中，，，，

∴，

即，

在和中，，

∴，

∴，，

∴，

设、相交于点，

则，

∴，

故且与的夹角为；

四边形为正方形．理由如下：

∵、分别是正方形的中心，

∴、分别是、的中点，

∵、分别是、的中点，

∴，，，，，，，，

根据的结论，，，

∴，

∴四边形是菱形，

∵，，，

∴，

∴菱形是正方形，

故四边形为正方形．