题目内容

把一张宽AD=2的矩形纸片ABCD如图那样折叠，使每次折叠后，点A都落在CD边上．如图，将矩形纸片放在平面直角坐标系中，使AD边落在y轴上，AD的中点与原点O重合．设某次折叠A的落点为A'，折痕线为EF，EF交x轴于点G．过点A'作x轴的垂线，交x轴于点H，交EF于点T．
（1）请试作两次你认为最适当的折叠，并写出各次所得到的点T的坐标；
（2）设DA′=x，点T的纵坐标为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）求点T（ $数学公式$ ，m）到点A的距离TA，并证明T（ $数学公式$ ，m）到CD的距离等于TA的长．

解：（1）T（0，0），T（2，-1）或T（1，- $\text{[math]}$ ），T（3，- $\text{[math]}$ ）等．

（2）连接AA'，由折叠的对称性知，EF垂直平分AA'于点G，
在Rt△A'GT中，GH⊥A'T，Rt△GHT∽Rt△A'HG，∴GH²=HT×A'H，
而A’H=1，GH= $\text{[math]}$ ，

∴HT= $\text{[math]}$
∵点T在第四象限，
∴点T的纵坐标为- $\text{[math]}$ ，所求的函数关系式为y=- $\text{[math]}$ ．（x≥0）

（3）由点T（ $\text{[math]}$ ，m）在抛物线y=- $\text{[math]}$ 上，得m=- $\text{[math]}$
延长A'T交AB于点M，连接AT．
在Rt△AMT中，AT= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
点T（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）到CD的距离为TA’，
TA’=A’H+HT=1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴点T（ $\text{[math]}$ ，m）到CD边的距离等于TA的长．
（指出EF是AA’的中垂线，得TA=TA’，再求得TA=TA’= $\text{[math]}$ 的给本小题满分）
分析：（1）根据折叠的性质易得答案，
（2）连接AA'，在Rt△A'GT中，易得Rt△GHT∽Rt△A'HG，进而有GH²=HT×A'H，而A’H=1，GH= $\text{[math]}$ ，且点T在第四象限，故可得所求的函数关系式；
（3）由点T（ $\text{[math]}$ ，m）在抛物线y=- $\text{[math]}$ 上，得m的值，延长A'T交AB于点M，连接AT．在Rt△AMT中，由勾股定理可得AT的大小；比较可得答案．
点评：本题主要考查，相似三角形的判定及平行线的性质，难度较大．