Question

如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．

（1）求证：OF∥BD；

（2）若，且⊙O的半径R=6cm．

     ①求证：点F为线段OC的中点；

     ②求图中阴影部分（弓形）的面积．

Answer 1

考点：

相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算。

专题：

几何综合题。

分析：

（1）由垂径定理可知OC⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明OF∥BD；

（2）①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点；

②根据S_阴=S_扇形AOC﹣S_△AOC，求面积．

解答：

（1）证明：∵OC为半径，点C为AD的中点，∴OC⊥AD，

∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD，

∴OF∥BD；

（2）证明：①∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，

∴OF=BD，

∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE，

∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，

∴，∴FC=BD，

∴FC=FO，即点F为线段OC的中点，

②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，

又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形，

∴S_阴==6π﹣9（cm²），

答：图中阴影部分（弓形）的面积为（6π﹣9）cm²．

点评：

本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，扇形面积的计算．关键是熟练掌握各知识点的联系及互相转化．