Question

【题目】如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．

（1）如图①，在中，，，，为上一点，，为中点，连接，求证：四边形为理想四边形；

（2）如图②，是等边三角形，若为理想对角线，四边形为理想四边形．请画图找出符合条件的C点落在怎样的图形上；(在图中标出必要的数据)

（3）在（2）的条件下，

①若为直角三角形，，求的长度；

②如图③，若，，，请直接写出、、之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①或； ②

【解析】

（1）连接CD，过点E作EM⊥AB，易证EM是BD的中垂线，得∠EDB=∠B=30°，从而得∠CED=60°，进而得是等边三角形，即可得到结论；

（2）作等腰三角形ODB，使得OD＝OB，∠DOB＝120°，以O为圆心，OD为半径作⊙O，当点C在弧BCD上时，满足条件；

（3）①若为直角三角形，分两种情况讨论：（i）当∠BDC=90°时；（ii）当∠DBC=90°时，分别求出答案即可；②将绕点D逆时针旋转60°，得到，连接EC，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，可得是等边三角形，用含x，y的代数式表示EF，CF，进而得到BF的表达式，利用勾股定理，即可得到结论．

（1）连接CD，过点E作EM⊥AB，如图①，

∵在中，，，，，

∴AB=4，BC=，BD=4-1=3，

∵为中点，

∴BE=，

∵在中，∠B=30°，EM⊥AB，

∴BM=BEcos30°=，

∴DM=BM=，即EM是BD的中垂线，

∴ED=EB=EC，

∴∠EDB=∠B=30°，

∴∠CED=60°，

∴是等边三角形，

又∵∠A=180°-∠B-∠ACB=60°，

∴四边形为理想四边形；

（2）如图②中，作等腰三角形ODB，使得OD＝OB，∠DOB＝120°，以O为圆心，OD为半径作⊙O，当点C在弧BCD上时，∠DCB＝∠DOB＝60°，满足条件；

（3）①若为直角三角形，分两种情况讨论：

（i）当∠BDC=90°时，如图③-1，

∵∠BCD=60°，BC=2，

∴∠DBC=30°，BD=BCcos30°=，

∵是等边三角形，

∴AB=BD=，∠ABD=60°，

∴∠ABC=90°，

∴；

（ii）当∠DBC=90°时，如图③-2，

同理可得：∠ADC=90°，DC=4，AD=，

∴．

综上所述：AC=或；

②将绕点D逆时针旋转60°，得到，连接EC，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图④，

∴∠CDE=60°，ED=CD，BE=AC=z，

∴是等边三角形，

∴EC=CD=x，∠DCE=60°，

∵∠BCD=60°，

∴∠ECF=180°-60°-60°=60°，

∴EF=ECsin60°=，CF= ECcos60°=，

∴BF=BC+CF=y+，

∴BE==，

∴z=，即：．