Question

如图，已知反比例函数的图象与一次函数y=k₂x+b的图象交于A，B两点，A（1，n），B（，-2），请你在x轴上找点P，使△AOP为等腰三角形，则这样的点P有________个，其坐标分别是________．

Answer 1

4    （，0），（-，0），（1，0），（2，0）
分析：将点B的坐标代入反比例函数解析式，得出k的值，将点A的横坐标代入，得出点A的坐标，求出OA的长度，分情况讨论：①OA=OP，②AO=AP，③PO=PA；分别得到点P的坐标即可．
解答：将点B（-，-2），代入反比例函数，可得：-2=，
解得：k₁=2，
∴反比例函数解析式为：y=，
将点A的横坐标x=1代入y=，可得y=1，
故点A的坐标为（1，1），
则OA=，
①若OA=OP，如图①所示：

此时可得P₁（，0），P₂（-，0）；
②若AO=AP，如图②所示：

此时可得P₃（2，0）；
③若PO=PA，如图③所示：
，
此时△OAP₄是等腰直角三角形，P₄（1，0）．
综上可得点P的坐标为：（，0）或（-，0）或（1，0）或（2，0），共4个．
故答案为：4、（，0），（-，0），（1，0），（2，0）．
点评：本题考查了反比例函数的综合，涉及了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征及等腰三角形的判定，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的综合运用．