Question

如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为（-2，0），⊙O′与x轴相交于原点O和点A，又B，C两点的坐标分别为（0，b），（1，0）．
（1）当b=3时，求经过B，C两点的直线的解析式；
（2）当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙O′有哪几种位置关系？并求每种位置关系时b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设经过B，C两点的直线的解析式为y=kx+b．
把（0，3），（1，0）代入即可求出未知数的值，从而求出其解析式；
（2）点B在y轴上运动时，直线BC与⊙O'的位置关系有相离、相切、相交三种．
当点B在y轴上运动到点E时，恰好使直线BC切⊙O'于点M，连接O'M，则O'M⊥MC．
在Rt△CMO'中，由于CO'=3，O'M=2，故CM=

5

，由Rt△CMO'∽Rt△COE，可得

OE

O′M

=

CO

CM

，即OE=

2 5

5

．
由圆的对称性可知，直线BC与⊙O'相离、相切、相交时b的值．

解答：解：（1）设经过B，C两点的直线的解析式为y=kx+b．
把（0，3），（1，0）代入得

b=3 k+b=0

，
解得

k=-3 b=3

．
故直线的解析式为y=-3x+3．

（2）点B在y轴上运动时，直线BC与⊙O'的位置关系有相离、相切、相交三种．
当点B在y轴上运动到点E时，恰好使直线BC切⊙O'于点M，连接O'M，则O'M⊥MC．
在Rt△CMO'中，CO'=3，O'M=2，
∴CM=

5

．
由Rt△CMO'∽Rt△COE，可得

OE

O′M

=

CO

CM

．
∴OE=

2 5

5

．
由圆的对称性可知，当b=±

2 5

5

时，直线BC与圆相切；
当b＞

2 5

5

或b＜-

2 5

5

时，直线BC与圆相离；
当-

2 5

5

＜b＜

2 5

5

时，直线BC与圆相交．

点评：本题很复杂，涉及到用待定系数法求函数解析式，及直线与圆的位置关系，是中学阶段的重点与难点．