题目内容
同学们可能都知道，对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除，例如，一个四位数，千位上的数字是a，百位上的数字是b，十位上的数字为c，个为上的数字为d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么这个四位数就可以被3整除．（1）你会证明这个结论吗？写出你的论证过程（以这个四位数为例即可）．
（2）通过本题的证明，你能总结出能被9整除的整数的特点吗？不必证明．
【答案】分析：（1）首先根据题意可设a+b+c+d=3e，则此四位数1000a+100b+10c+d可表示为999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得这个四位数就可以被3整除；
（2）根据（1）可知如果一个整数的各个数位上的数字和可以被9整除，那么这个数就一定能够被9整除．
解答：证明：（1）设a+b+c+d=3e（e为整数），
这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，
∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，
∴
=333a+33b+3c+e，
∵333a+33b+3c+e是整数，
∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．
（2）如果一个整数的各个数位上的数字和可以被9整除，那么这个数就一定能够被9整除．
点评：此题考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．
（2）根据（1）可知如果一个整数的各个数位上的数字和可以被9整除，那么这个数就一定能够被9整除．
解答：证明：（1）设a+b+c+d=3e（e为整数），
这个四位数可以写为：1000a+100b+10c+d，
∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，
∴
=333a+33b+3c+e，∵333a+33b+3c+e是整数，
∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．
（2）如果一个整数的各个数位上的数字和可以被9整除，那么这个数就一定能够被9整除．
点评：此题考查了数的整除性问题．注意四位数的表示方法与整体思想的应用．
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