题目内容
【题目】如图，抛物线C1：
的顶点为A，与x轴的正半轴交于点B.
（1）请直接写出A、B两点的坐标，A ，B .
（2）将抛物线C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的解析式；
（3）将抛物线C1上的点（x，y）变为（kx，ky）（|k|＞1），变换后得到的抛物线记作C2.抛物线C2的顶点为C，点P在抛物线C2上，满足S△PAC＝S△ABC，且∠ACP＝90°.
①当k＞1时，求k的值；
②当k＜-1时，请你直接写出k的值，不必说明理由.
【答案】(1)A(1,
);B(2,0);(2) y=-
x2+2x；（3）①
；② -.
【解析】
（1）把函数解析式化为顶点式即可得到A（1，），解方程即可得到B（2，0）；
（2）由抛物线C1解析式求出A、B及原点坐标，将三点坐标都扩大到原来的2倍，待定系数求解可得；
（3）①如图1中，当k＞1时，与（1）同理可得抛物线C2的解析式为y=-
x2+2x及顶点C的坐标，根据S△PAC=S△ABC知BP∥AC，继而可得△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C2解析式可求得k的值；
②如图2中，当k＜-1时，作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，同理可得四边形CEBP是矩形，先求出抛物线C2解析式，表示出点P的坐标，将其代入到抛物线C2解析式可求得k的值；
(1)A(1,);B(2,0);
（2）∵y=-x2+2x=-（x-1）2+，
∴抛物线C1经过原点O，点A（1，）和点B（2，0）三点，
∴变换后的抛物线经过原点O，（2，2）和（4，0）三点，
∴变换后抛物线的解析式为y=-x2+2x；
（3）①如图1中，当k＞1时，
∵抛物线C2经过原点O，（k，k），（2k，0）三点，
∴抛物线C2的解析式为y=-
x2+2x，
∴O、A、C三点共线，且顶点C为（k，k），
如图，∵S△PAC=S△ABC，∴BP∥AC，
过点P作PD⊥x轴于D，过点B作BE⊥AO于E，
由题意知△ABO是边长为2的正三角形，四边形CEBP是矩形，
∴OE=1，CE=BP=2k-1，
∵∠PBD=60°，∴BD=k-
，PD=（2k-1），
∴P（k+
，（2k-1）），
∴（2k-1）=-（k+）2+2（k+），
解得：k=；
②如图2中，当k＜-1时，
∵抛物线C2经过原点O，（k，k），（2k，0）三点，
∴抛物线C2的解析式为y=-x2+2x，
∴O、A、C′三点共线，且顶点C′为（k，k），
作△ABO关于y轴对称的△A′B′O，OE′⊥A′B′，
∵S△PAC′=S△ABC=S△AC′B′，
∴A′P∥AC′，由题意四边形PC′OE′是矩形，
∴PE′=OC′=-2k，B′E′=1，PB′=-2k-1，
在Rt△PDB′中，∵∠PDB′=90°，∠PB′D=∠A′B′O=60°，
∴DB′=PB′=
，DP=（-2k-1），∴点P坐标[
，（2k+1）]，
∴（2k+1）=-（）2+2（）
∴k=-．
