Question

（2012•株洲）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可；
（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可．

解答：解：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
∴AM=12-t，AN=2t
∵∠AMN=∠ANM
∴AM=AN，从而12-t=2t
解得：t=4 秒，
∴当t为4时，∠AMN=∠ANM．
              
（2）在Rt△ABC中
∵AB²=BC²+AC²
∴AB=13
如图，作NH⊥AC于H，
∴∠NHA=∠C=90°，
∵∠A是公共角，
∴△NHA∽△BCA
∴

AN

AB

=

NH

BC

，
即：

2t

13

=

NH

5

，
∴NH=

10

13

t
从而有S_△AMN=

1

2

（12-t）•

10

13

t=-

5

13

t²+

60

13

t，
∴当t=6时，S最大值=

180

13

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而求解．