Question

【题目】直线是同一平面内的一组平行线．

(1)如图1．正方形的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点，点分别在直线和上，求正方形的面积；

(2)如图2，正方形的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为．

①求证：；

②设正方形的面积为，求证．

Answer 1

【答案】（1）9或5；（2）①见解析，②见解析

【解析】

（1）分两种情况：①如图1-1，得出正方形ABCD的边长为3，求出正方形ABCD的面积为9；

②如图1-2，过点B作EF⊥l1于E，交l4于F，则EF⊥l4，证明△ABE≌△BCF（AAS），得出AE=BF=2由勾股定理求出AB=，即可得出答案；

（2）①过点B作EF⊥l1于E，交l4于F，作DM⊥l4于M，证明△ABE≌△BCF（AAS），得出AE=BF，同理△CDM≌△BCF（AAS），得出△ABE≌△CDM（AAS），得出BE=DM即可；

②由①得出AE=BF=h2+h3=h2+h1，得出正方形ABCD的面积S=AB2=AE2+BE2，即可得到答案.

解：（1）①如图，当点分别在上时，面积为：；

②如图，当点分别在上时，过点B作EF⊥l1于E，交l4于F，则EF⊥l4，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，

∵∠CBF+∠BCF=90°，

∴∠ABE=∠BCF，

在△ABE和△BCF中

，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF=2，

∴AB=，

∴正方形ABCD的面积=AB2=5；

综上所述，正方形ABCD的面积为9或5；

（2）①证明：过点B作EF⊥l1于E，交l4于F，作DM⊥l4于M，如图所示：则EF⊥l4，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=180°-90°=90°，

∵∠CBF+∠BCF=90°，

∴∠ABE=∠BCF，

在△ABE和△BCF中，

，
∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF，

同理△CDM≌△BCF（AAS），

∴△ABE≌△CDM（AAS），

∴BE=DM，

即h1=h3．

②解：由①得：AE=BF=h2+h3=h2+h1，

∵正方形ABCD的面积：S=AB2=AE2+BE2，

∴S=（h2+h1）2+h12=2h12+2h1h2+h22．