Question

已知，如图在△ABC中，AB=AC，点D是AC的中点，直线AE∥BC，过D点作直线EF∥AB分别交AE、BC于点E、F，求证：四边形AECF是矩形．

Answer 1

分析：根据中点定义求出DA=DC，根据两直线平行，内错角相等可得∠AED=∠CFD，然后利用“角角边”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形AECF是平行四边形，再判断出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB=EF，然后求出AC=EF，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．

解答：证明：∵点D是AC的中点，
∴DA=DC，
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠CFD，
在△ADE和△CDF中，

∠AED=∠CFD ∠ADE=∠CDF DA=DC

，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
又∵AE∥BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE∥BC，EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB=EF，
∵AB=AC，
∴AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

点评：本题考查了矩形的判定，主要利用了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，对角线相等的平行四边形是矩形的判定方法．