Question

如图，ABCD中，O是AB中点，半⊙O与AD、DC、CB分别相切于E、F、G，求证：AB²=4CD•BC．

Answer 1

证明：如图，连OE、OD、OF、OC、OG，
则易证Rt△AOE≌Rt△BOG，∴∠A=∠B，∠AOE=∠BOG=α，
通过全等还可证∠DOE=∠DOF=β，∠COF=∠COG=γ，
∴α+β+γ=90°，
∴∠BCO=90°-γ=α+β=∠AOD，
∴△AOD∽△BCO，
∴=，而OA=OB=AB，
∴AB²=AD•BC，
即AB²=4AD•BC．
分析：通过连OE、OD、OF、OC、OG，则易证Rt△AOE≌Rt△BOG，进而可得出△AOD∽△BCO，再由对应边成比例即可求证结论．
点评：本题主要考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．