Question

（2013•大港区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠CDB=90°，过点A、D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（Ⅰ）求证：直线BD与⊙A相切；
（Ⅱ）若点D是AC的中点，BC=12，求AD的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先连接OD，由OA=OD，可得∠A=∠ODA，又由∠A+∠CDB=90°，则可证得∠ODB=90°，即可判定直线BD与⊙A相切；
（Ⅱ）易证得△CBA∽△CDB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD的长．

解答：（Ⅰ）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BD为圆的切线．-------------------------------------（4分）

（Ⅱ）解：∵∠CDB+∠CBD=90°，∠A+∠CDB=90°，
∴∠A=∠CBD，
∵∠C是公共角，
∴△CBA∽△CDB，
∴

BC

DC

=

AC

BC

，
∵D为AC的中点，
∴12²=DA•2AD，
∴AD=6

2

．-------------------------（8分）

点评：此题考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．