Question

如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：

①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由．

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

①结论：能．如图设AP＝x cm，则PD＝(10－x)cm．因为∠A＝∠D＝，∠BPC＝，所以∠DPC＝∠ABP． 　　所以△ABP∽△DPC． 　　则，即AB·DC＝PD·AP． 　　所以4×4＝x(10－x)， 　　即　　x2－10x＋16＝0． 　　解得　　x1＝2，x2＝8． 　　所以　　AP＝2cm或8cm． 　　②结论：能．如图设AP＝x cm，CQ＝y cm． 　　由于ABCD是矩形，∠HPF＝，所以△BAP∽△ECQ，△BAP∽△PDQ． 　　所以　　AP·CE＝AB·CQ，AP·PD＝AB·DQ 　　所以　　2x＝4y，即y＝　　① 　　x·(10－x)＝4(4＋y)　　② 　　由①②消去y，得x2－8x＋16＝0，解得x1＝x2＝4． 　　即AP＝4cm．