Question

如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y=

1

6

x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象．
（2）点Q（8，m）在抛物线y=

1

6

x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ-PA的最大值．
（3）CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，在抛物线上是否存在一点N，使△CON的面积等于△COE的面积？

Answer 1

分析：（1）根据圆心的位置及圆的半径可知A（2，0），B（6，0），代入抛物线y=

1

6

x2+bx+c中，解方程组确定抛物线解析式及C点坐标；
（2）由抛物线的对称性可知PA=PB，可知只有P、B、Q三点共线时，PQ-PA最大，即PQ-PA的最大值=BQ=AC；
（3）存在．连接CM，EM，证明CM∥OE，先求直线CM的解析式，根据平行关系确定直线OE的解析式，求出E点坐标，将E点横坐标代入抛物线解析式即可求出N点坐标，此外，将E点横坐标的相反数代入抛物线解析式可求满足条件的另外一个N点坐标．

解答：解：（1）由已知，得　A（2，0），B（6，0），
∵抛物线y=

1

6

x2+bx+c过点A和B，则

1 6 ×22+2b+c=0 1 6 ×62+6b+c=0

解得　

b=- 4 3 c=2.

则抛物线的解析式为　y=

1

6

x2-

4

3

x+2．
故　C（0，2）．…（2分）
（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）

（2）由（1）可知抛物线对称轴l是x=4，
将Q（8，m）代入抛物线解析式，得m=2，即Q（8，2），
由抛物线的对称性可知PA=PB，BQ=AC，
当P、B、Q三点共线时，PQ-PA最大，
PQ-PA的最大值=BQ=AC=2

2

…（3分）


（3）存在．如图②，连接EM和CM．
由已知，得EM=OC=2．
CE是⊙M的切线，∴∠DEM=90°，则∠DEM=∠DOC．
又∵∠ODC=∠EDM．
故△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
又在△ODE和△MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
则OE∥CM．…（7分）
设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），
∴

4k+b=0 b=2

解得　

k=- 1 2 b=2

直线CM的解析式为y=-

1

2

x+2．
又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，
则OE的解析式为　y=-

1

2

x．…（8分）
显然△DEM≌△DOC．
∴OD=DE，CD=MD．
设OD=x，CD=4-x，则OC²+OD²=CD²，
解得OD=1.5，直线CD解析式为y=-

4

3

x+2，联立

y=- 4 3 x+2 y=- 1 2 x

，得E点的坐标（2.4，-1.2），
过E点作y轴的平行线与抛物线的交点即为所求，
把x=2.4代入抛物线y=

1

6

x2-

4

3

x+2中，得y=-

6

25

，即N（

12

5

，-

6

25

），
另外，在y轴的左侧也有一个点符合要求，即N（-

12

5

，

154

25

）．

点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意求出抛物线解析式，根据抛物线的对称性，根据相关点的特殊性证明平行线，利用平行线的性质解题．