Question

如图，扇形OAB的半径OA=r，圆心角∠AOB=90°，点C是

AB

上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，点M在DE上，DM=2EM，过点C的直线CP交OA的延长线于点P，且∠CPO=∠CDE．
（1）试说明：DM=

2

3

r；
（2）试说明：直线CP是扇形OAB所在圆的切线．

Answer 1

分析：（1）连接OC，利用矩形的判定方法证明四边形EODC是矩形，即可得出答案；
（2）由∠CPO=∠CDE，∠NDO+∠EDC=90°，得出∠NOD+∠CPD=90°，即可证出．

解答：解：（1）连接OC，
∵∠AOB=90°，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，
∴四边形EODC是矩形，
∵点M在DE上，DM=2EM，扇形OAB的半径OA=r，
∴OC=DE=r，
∴DM=

2

3

DE=

2

3

r；

（2）证明：∵四边形EODC是矩形，
∴ON=ND，
∴∠NOD=∠NDO，
∵∠CPO=∠CDE，∠NDO+∠EDC=90°，
∴∠NOD+∠CPD=90°，
∴直线CP是扇形OAB所在圆的切线．

点评：此题主要考查了切线的判定与矩形的性质与判定，连接OC，利用矩形的对角线相等且互相平分是解决问题的关键．