Question

有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合)，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB＝a，AD＝b，BE＝x， (1) 求证：AF＝EC； (2) 用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平放拼接在梯形ECDF的下方，使一边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形证C． ①当x∶b为何值时，直线E经过原矩形的一个顶点； ②在直线E经过原矩形的一个顶点的情形下，连结B，直线B与EF是否平行；你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

∵EF将矩形分成面积相等的两部分 　　∴有关系式：(AF＋x)a＝(b－x＋b－AF)a 　　由此可证得AF＝EC

(2)

①如图(1)，当直线E经过原矩形的顶点D时，∵DC＝C＝a．EC∥，∴DE＝E，∴2EC＝， 　　即2(b－x)＝x可解得x∶b＝2∶3 　　如图(2)，当直线E过原矩形的顶点A时， 　　∵DC＝C＝a　AD∥EC∥ 　　∵AE＝E　∴2EC＝＋AD 　　即2(b－x)＝x＋b，从而解得x∶b＝1∶3 　　③如图(1)，当直线E过原矩形的顶点D时，B∥EF 　　证明：连BF，∵DFBE 　　∴四边形BEDF为平行四边形， 　　∴BFDE， 　　又DC＝C　EC∥ 　　∴DE＝E　∴BFE 　　∴四边形BFE是平行四边形，∴B∥EF． 　　如图(2)，当直线E经过原矩形的顶点A时， 　　显然BEF， 　　设直线EF与A交于点G， 　　∵∠FEC＝∠EFA－∠EC 　　又∠BEG＝∠FEC 　　∴∠BEG＝∠EC 　　若∠EBG＝∠EM 　　则B⊥EF 　　在B⊥EF的情况下， 　　不妨设∠EBG＝α，则∠EM＝α 　　在Rt△BM中，tanα＝＝＝ 　　在Rt△EM中，tanα＝＝＝ 　　∴＝ 　　∵a＞b，b＞0　∴＝ 　　即当＝时，B⊥EF．