题目内容
如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作PM∥AC交AB于点M，作PN∥AB交AC于点N．（1）若点D是BC的中点，且AP：PD=2：1，求AM：AB的值；
（2）若点D是BC的中点，试证明
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
（3）若点D是BC上任意一点，试证明
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| AP |
| AD |
分析：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，由点D为BC中点与AP：PD=2：1，根据平行线分线段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
（2）延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得
=
；
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得
=
，又由PM∥AC，根据平行线分线段成比例定理可得
=
，继而求得
+
=
．
（2）延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，易得四边形ABQC是平行四边形，由平行四边形的性质可得PM∥BQ，PN∥CQ，继而可得
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，即可得
| AM |
| AE |
| AP |
| AD |
| AE |
| AB |
| CD |
| BC |
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| AP |
| AD |
解答：解：（1）过点D作DE∥PM交AB于E，
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且
=
，（2分）
∴
=
=
；（1分）
（2）延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，
则四边形ABQC是平行四边形．（1分）
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴
=
，
=
（2分）
∴
=
；（1分）
（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，
∴
=
，（1分）
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC
∴
=
，（1分）
∴
=
×
=
×
（1分）
同理可得：
=
×
（1分）
∴
+
=
×(
+
)=
．（1分）
（注：如果像第（2）题那样添辅助线，也可以证．）
∵点D为BC中点，
∴点E是AB中点，且
| AM |
| AE |
| AP |
| AD |
∴
| AM |
| AB |
| AM |
| 2AE |
| 1 |
| 3 |
（2）延长AD至点Q，使DQ=AD，连BQ、CQ，
则四边形ABQC是平行四边形．（1分）
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴
| AM |
| AB |
| AP |
| AQ |
| AN |
| AC |
| AP |
| AQ |
∴
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
（注：像第（1）题那样作辅助线也可以．）
（3）过点D作DE∥PM交AB于E，
∴
| AM |
| AE |
| AP |
| AD |
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC
∴
| AE |
| AB |
| CD |
| BC |
∴
| AM |
| AB |
| AM |
| AE |
| AE |
| AB |
| AP |
| AD |
| CD |
| BC |
同理可得：
| AN |
| AC |
| AP |
| AD |
| BD |
| BC |
∴
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| AP |
| AD |
| CD |
| BC |
| BD |
| BC |
| AP |
| AD |
（注：如果像第（2）题那样添辅助线，也可以证．）
点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质与判定．注意掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法是解此题的关键．
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