Question

如下图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．

(1) 点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；

 (2) 当t=       秒或      秒时，MN=AC；

(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

Answer 1

解：(1)（4，0），（0，3）； 

(2) 2，6；

(3) 当0＜t≤4时，OM=t．

由△OMN∽△OAC，得，

∴ ON=，S=． 

当4＜t＜8时，

如图，

∵ OD=t，∴ AD= t-4．

方法一：

由△DAM∽△AOC，可得AM=，∴ BM=6-．

由△BMN∽△BAC，可得BN==8-t，∴ CN=t-4．

S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积

=12--（8-t）（6-）-

=． 

方法二：

易知四边形ADNC是平行四边形，∴ CN=AD=t-4，BN=8-t．

由△BMN∽△BAC，可得BM==6-，∴ AM=

以下同方法一．

 (4) 有最大值．

方法一：

当0＜t≤4时，

∵ 抛物线S=的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大，

∴ 当t=4时，S可取到最大值=6；

当4＜t＜8时，

∵ 抛物线S=的开口向下，它的顶点是（4，6），∴ S＜6．

综上，当t=4时，S有最大值6．

方法二：

∵ S=

∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如下图所示．

显然，当t=4时，S有最大值6．