Question

已知抛物线的顶点是C（0，a） （a>0，a为常数），并经过点（2a，2a），点D（0，2a）为一定点。
（1）求含有常数a的抛物线的解析式；
（2）设点P是抛物线任意一点，过P作PH⊥x轴，垂足是H，求证：PD=PH；
（3）设过原点O的直线l与抛物线在第一象限相交于A、B两点，若DA=2DB，且S_△ABD=4，求a的值。

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=kx2+a， ∵点D（2a，2a）在抛物线上， 4a2k+a=2a， ∴k=， ∴抛物线的解析式为y=x2+a；
（2）设抛物线上一点P（x，y），过P作PH⊥x轴，PG⊥y轴， 在Rt△GDP中，由勾股定理得：PD2=DG2+PG2=（y-2a）2+x2=y2-4ay+4a2+x2， ∵y=x2+a ∴x2= 4a×（y-a）=4ay-4a2， ∴PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2， ∴PD=PH。
（3）过B点BE⊥x轴，AF⊥x轴， 由（2）的结论：BE=DB AF=DA， ∵DA=2DB， ∴AF=2BE， ∴AO=2BO， ∴B是OA的中点， ∴C是OD的中点， 连结BC， ∴BC===BE=DB， 过B作BR⊥y轴， ∵BR⊥CD， ∴CR=DR，OR=a+=， ∴B点的纵坐标是，又点B在抛物线上， ∴=x2+a， ∴x2=2a2， ∵x>0， ∴x=a， ∴B （a，） AO=2OB， ∴S△ABD=S△OBD=4 所以，×2a×a=4 ∴a2=4， ∵a>0， ∴a=2。