Question

【题目】如图，矩形ABCD中，BC＝8，点F是AB边上一点（不与点B重合）△BCF的外接圆交对角线BD于点E，连结CF交BD于点G．

（1）求证：∠ECG＝∠BDC．

（2）当AB＝6时，在点F的整个运动过程中．

①若BF＝2时，求CE的长．

②当△CEG为等腰三角形时，求所有满足条件的BE的长．

（3）过点E作△BCF外接圆的切线交AD于点P．若PE∥CF且CF＝6PE，记△DEP的面积为S1，△CDE的面积为S2，请直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①；②当BE为10，或时，△CEG为等腰三角形；（3）.

【解析】

（1）根据平行线的性质得出∠ABD＝∠BDC，根据圆周角定理得出∠ABD＝∠ECG，即可证得结论；

（2）根据勾股定理求得BD＝10，

①连接EF，根据圆周角定理得出∠CEF＝∠BCD＝90°，∠EFC＝∠CBD．即可得出sin∠EFC＝sin∠CBD，得出，根据勾股定理得到CF＝，即可求得CE＝；

②分三种情况讨论求得：

当EG＝CG时，根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC，从而证得E、D重合，即可得到BE＝BD＝10；

当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，即可得到∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，得到CG＝CD＝6．根据三角形面积公式求得CH＝，即可根据勾股定理求得GH，进而求得HE，即可求得BE＝BH＋HE＝；

当CG＝CE时，过点E作EM⊥CG于点M，由tan∠ECM＝．设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．得出GM＝2k，tan∠GEM＝，即可得到tan∠GCH＝=．求得HE＝GH＝，即可得到BE＝BH＋HE＝；

（3）连接OE、EF、AE、EF，先根据切线的性质和垂直平分线的性质得出EF＝CE，进而证得四边形ABCD是正方形，进一步证得△ADE≌△CDE，通过证得△EHP∽△FBC，得出EH＝BF，即可求得BF＝6，根据勾股定理求得CF＝10，得出PE＝，根据勾股定理求得PH，进而求得PD，然后根据三角形面积公式即可求得结果．

（1）证明：∵AB∥CD．

∴∠ABD＝∠BDC，

∵∠ABD＝∠ECG，

∴∠ECG＝∠BDC．

（2）解：①∵AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，

∴BD＝＝10，

如图1，连结EF，则∠CEF＝∠BCD＝90°，

∵∠EFC＝∠CBD．

∴sin∠EFC＝sin∠CBD，

∴

∴CF＝＝，

∴CE＝．

②Ⅰ、当EG＝CG时，∠GEC＝∠GCE＝∠ABD＝∠BDC．

∴E与D重合，

∴BE＝BD＝10．

Ⅱ、如图2，当GE＝CE时，过点C作CH⊥BD于点H，

∴∠EGC＝∠ECG＝∠ABD＝∠GDC，

∴CG＝CD＝6．

∵CH＝，

∴GH＝，

在Rt△CEH中，设HE＝x，则x2+（）2＝（x+）2

解得x＝，

∴BE＝BH+HE＝+＝；

Ⅲ、如图2，当CG＝CE时，

过点E作EM⊥CG于点M．

∵tan∠ECM＝．

设EM＝4k，则CM＝3k，CG＝CE＝5k．

∴GM＝2k，tan∠GEM＝，

∴tan∠GCH＝＝tan∠GEM＝．

∴HE＝GH＝，

∴BE＝BH+HE＝，

综上所述，当BE为10，或时，△CEG为等腰三角形；

（3）解：∵∠ABC＝90°，

∴FC是△BCF的外接圆的直径，设圆心为O，

如图3，连接OE、EF、AE、EF，

∵PE是切线，

∴OE⊥PE，

∵PE∥CF，

∴OE⊥CF，

∵OC＝OF，

∴CE＝EF，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴∠ECF＝45°，EF=FC，

∴∠ABD＝∠ECF＝45°，

∴∠ADB＝∠BDC＝45°，

∴AB＝AD＝8，

∴四边形ABCD是正方形，

∵PE∥FC，

∴∠EGF＝∠PED，

∴∠BGC＝∠PED，

∴∠BCF＝∠DPE，

作EH⊥AD于H，则EH＝DH，

∵∠EHP＝∠FBC＝90°，

∴△EHP∽△FBC，

∴，

∴EH＝BF，

∵AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，

∴△ADE≌△CDE，

∴AE＝CE，

∴AE＝EF，

∴AF＝2EH＝BF，

∴BF+BF＝8，

∴BF＝6，

∴EH＝DH＝1，CF＝＝10，

∴PE＝FC＝，

∴PH＝，

∴PD＝，

∴．