Question

设S由1，2，3…，50中的若干个数组成的一个数集（数的集合），S中任两数之和不能被7整除，试问S中最多能由1，2，3，…50中的几个数组成（S中含数的个数最大值）？证明你的结论．

Answer 1

分析：将1，2，3，50这50个数，按被7除其余数分成七个不同的数集F₀，F₁，…F₆，然后分别讨论S能包含各个数集中数的最大数量，从而可得出S最多能包含的数．

解答：证明：将1，2，3，50这50个数，按被7除其余数分成七个不同的数集F₀，F₁，…F₆；
F₀由7，14，21，49组成（被7整除）；
F₁由1，8，15，，50组成（被7除余1）；
F₆由6，13，20，48组成（被7除余6）；
S中最多包含F₀中的一个数，因F₀中任两数和都能被7整除，
又S能分别包含F₁，F₂，F₆中所有的数，但由S中任两数和不能被7整除，
故S不能同时包含F₁和F₆，F₂或F₅，F₅或F₃和F₄中的数，
因此，S中最多包含F₀中1个数，F₁中8个数，F₂或F₅，F₃或F₄中的7个数．
故S中最多包含1+8+7+7=23个数．

点评：本题考查数的整除性的知识，难度较大，将所有的数分组是本题的妙笔，注意掌握此思想的运用方法．