Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，DO⊥BC于点O，AB=BC=4，AD=2，P是线段AB上的动点，DP⊥PQ交BC于Q，R为PD的中点．
（1）求证：△DAP∽△PBQ．
（2）设AP=x，BQ=y，求y与x间的函数关系式，并求y的最大值和对应点P的位置．
（3）若以R、P、Q为顶点的三角形与△DOC相似，求此时点P的位置．

Answer 1

分析：（1）由DP垂直于PQ，得到一对角互余，再由直角三角形ADP中两锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得证；
（2）由AB-AP表示出BP，根据（1）得出的两三角形相似得比例，将各自的值代入得到y关于x的二次函数解析式，利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值，确定出此时P为AB的中点；
（3）在直角三角形ADP中，AD=2，AP=x，利用勾股定理表示出DP，由R为PD的中点，表示出RP，在直角三角形PQB中，BP=4-x，BQ=y，利用勾股定理表示出PQ，将二次函数解析式代入用x表示出PQ，求出DO与OC，若△DOC∽△PRQ，则有

RP

DO

=

PQ

OC

或

RP

OC

=

PQ

DO

，分别列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出P的位置即可．

解答：解：（1）∵∠ADP+∠APD=90°，∠APD+∠QPB=90°，
∴∠ADP=∠QPB，又∠A=∠B=90°，
∴△DAP∽△PBQ；

（2）∵AP=x，
∴BP=4-x，
又∵△DAP∽△PBQ，
∴

AD

PB

=

AP

BQ

，即

2

4-x

=

x

y

，
∴y=-

1

2

x²+2x（0＜x＜4），
当x=-

b

2a

=-

2

2×(- 1 2 )

=2时，y有最大值，y_最大=

4ac-b2

4a

=

0-4

4×(- 1 2 )

=2，
此时P为AB中点；

（3）在Rt△ADP中，AD=2，AP=x，
根据勾股定理得：DP=

AD2+AP2

=

x2+4

，
∵R为PD的中点，
∴RP=

1

2

x2+4

，
∵在Rt△PBQ中，BP=4-x，BQ=y，
根据勾股定理得：
PQ=

PB2+BQ2

=

(4-x)2+y2

=

(4-x)2+(- 1 2 x2+2x)2

=

(4-x)2+ 1 4 x2(4-x )2

，
=（4-x）

1 4 x2+1

，
∵∠A=∠B=90°，DO⊥BC于点O，
∴DO=BC=4，OC=BC-BO=BC-AD=4-2=2，
若△DOC∽△PRQ，则有

RP

DO

=

PQ

OC

或

RP

OC

=

PQ

DO

，
当

RP

DO

=

PQ

OC

，即

1 2 x2+4

4

=

(4-x) 1 4 x2+1

2

，
解得：x=3.5或x=4.5（舍去）；
当

RP

OC

=

PQ

DO

，即

1 2 x2+4

2

=

(4-x) 1 4 x2+1

4

解得：x=2或x=6（舍去），
综上，AP=3.5或2．

点评：此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．