题目内容
【题目】抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,已知抛物线的对称轴为x=1，B(3,0),C(0,-3)，
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于M,N两点，若以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）点P的坐标(1,-6)．（3）
或
【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中，联立抛物线的对称轴方程，即可求得该抛物线的解析式．（2）由于A、B关于抛物线的对称轴对称，若P到B、C的距离差最大，那么P点必为直线AC与抛物线对称轴的交点，可先求出直线AC的解析式，联立抛物线对称轴方程，即可得到点P的坐标．(3) 根据抛物线和圆的对称性，知圆心必在抛物线的对称轴上，由于该圆与x轴相切，可用圆的半径表示出M、N的坐标，将其入抛物线的解析式中，即可求出圆的半径；(需注意的是圆心可能在轴上方，也可能在轴下方,需要分类讨论)
试题解析：
（1）将C(0,-3)代入y=ax2+bx+c，得 c=3．
将c＝3，B(3,0)代入y=ax2+bx+c，得 
．∵
是对称轴，∴
将（2）代入（1）得：
， 
．所以，二次函数得解析式是
．
（2）AC与对称轴的交点P即为到B、C的距离之差最大的点．
∵C点的坐标为(0,-3)，A点的坐标为(-1,0)，
∴ 直线AC的解析式是
，又对称轴为
，∴ 点P的坐标(1,-6)．
（3）设
，所求圆的半径为r，则 
，
∵ 对称轴为
， ∴
．由（1）、（2）得：
．
将
代入解析式
，得 
，
整理得： 
．由于
当
时，
，
解得，
， 
（舍去），
当
时，
，解得，
， 
（舍去）．
所以圆的半径是
或
．
