Question

20、如图，一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动，移动过程中始终保持AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A．∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点．
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形？
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系，只写出结果即可．不用证明．

Answer 1

分析：（1）由AB⊥ON，AC⊥OM，根据两锐角互余，易证得∠AED=∠ADE，然后根据等角对等边的性质，即可得AD=AE；
（2）连接DF、EF，由点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，可证得AE=FE，AD=FD，又由AD=AE，根据由四条边都相等的四边形是菱形，即可得四边形ADFE是菱形；
（3）首先过点E作EK⊥OC于K，AC⊥OM，∠MON的角平分线是OP，即可得AE=EK=AD，又由∠MON=45°，根据等腰直角三角形的性质，易得OA=AC=OK，，则可证得OC=AC+AD．

解答：解：（1）AE=AD．
理由如下：
∵AB⊥ON，AC⊥OM，
∴∠AED=90°-∠MOP，∠ADE=∠ODB=90°-∠PON，
而∠MOP=∠NOP，
∴∠AED=∠ADE．
∴AD=AE．

（2）菱形．
理由：连接DF、EF，
∵点F与点A关于直线OP对称，E、D在OP上，
∴AE=FE，AD=FD．
由（1）得AE=AD，
∴AE=FE=AD=FD．
∴四边形ADFE是菱形；

（3）OC=AC+AD．
理由：过点E作EK⊥OC于K，
∵AC⊥OM，∠MON的角平分线是OP，
∴AE=EK=AD，OA=OK，
∵∠MON=45°，
∴∠ACO=∠AOC=45°，
∴OA=AC，∠KEC=∠KCE，
∴EK=CK，
∴CK=AE，
∴OC=OK+KC=OA+AE=AC+AD．

点评：此题考查了垂直的定义，菱形的判定，等腰三角形与等腰直角三角形的性质，以及角平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．