题目内容

如图所示，抛物线y=mx²+8mx+12n与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），在第二象限内抛物线上的一点C，使△OCA∽△OBC，且AC：BC= $数学公式$ ：1，若直线AC交y轴于P．
（1）当C恰为AP中点时，求抛物线和直线AP的解析式；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，⊙M与直线PA和y轴都相切，求点M的坐标．

解：（1）设y=mx²+8mx+12n与x轴交于A、B两点，A（x₁，0）、B（x₂，0），
在Rt△APO中，
∵C为AP中点，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵△OCA∽△OBC，
∴ $\text{[math]}$ ．
设 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
在△ABC中，
∵BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，∠CAB=30°．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴-k-3k=-4k=-8，
∴k=2．
∴A（-6，0），B（-2，0），
∴OP= $\text{[math]}$ ．
设AP直线 $\text{[math]}$ ，A（-6，0）代入得0=-6kn+2 $\text{[math]}$ ，
∴kn= $\text{[math]}$ ，直线AP为y= $\text{[math]}$ x+2 $\text{[math]}$ ；

（2）如图，

设抛物线的对称轴为M₁M₂，由题意M₁到y轴距离M₁P₁=M₁N₁（N₁为M₁N₁⊥AP的垂足）．
同理M₂P₂=M₂N₂．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴M₁和M₂的横坐标均为-4．
设M₁M₂与AP交于Q点，M₁N₁=M₂N₂=4=M₁P₁=M₂P₂=4，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴∠PAO=30°，∠AQM₂=60°，
将Q点横坐标-4代入直线AP方程： $\text{[math]}$ ；
∵△M₁QN₁≌△M₂QN₂，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴M₁的纵坐标= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴M₂点的纵坐标为 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ 的相反数-2 $\text{[math]}$ ，
∴M₂（-4， $\text{[math]}$ ）．
综上，抛物线： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设出抛物线y=mx²+8mx+12n与x轴交于A、B两点的坐标，利用△OCA∽△OBC，证得△ABC为直角三角形，进一步求得P点坐标，利用待定系数法求得直线解析式；
（2）利用抛物线的对称性，首先抛物线解析式及双切线的性质求得点M横坐标，再进一步利用三角形全等的性质和（1）所求直线解决问题．
点评：此题考查待定系数法求函数解析式，三角形相似的性质，二次函数的对称性，双切线的性质解决问题．