Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点(不与点B重合)，EP与BD相交于点O．

(1)当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；

(2)设(1)中的相似比为k，若AD∶BC＝2∶3．请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k＝1时，是________；②当k＝2时，是________；③当k＝3时，是________．并证明k＝2时的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵AD∥BC 　　∴∠OBP＝∠ODE　　1分 　　在△BOP和△DOE中 　　∠OBP＝∠ODE 　　∠BOP＝∠DOE　　2分 　　∴△BOP∽△DOE(有两个角对应相等的两三角形相似)　　3分 　　(2)①平行四边形　　4分 　　②直角梯形　　5分 　　③等腰梯形　　6分 　　证明：∵k＝2时， 　　∴BP＝2DE＝AD 　　又∵AD∶BC＝2∶3　BC＝AD 　　PC＝BC－BP＝AD－AD＝AD＝ED 　　ED∥PC，∴四边形PCDE是平行四边形 　　∵∠DCB＝90° 　　∴四边形PCDE是矩形　　7分 　　∴∠EPB＝90°　　8分 　　又∵在直角梯形ABCD中 　　AD∥BC，AB与DC不平行 　　∴AE∥BP，AB与EP不平行 　　四边形ABPE是直角梯形　　9分 　　(本题其它证法参照此标准给分)