Question

如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C→D向终点D运动．同时动点Q从点A出发，以相同的速度沿A→D→B向终点B运动，运动的时间为x秒，当点P到达点D时，点P、Q同时停止运动，设△APQ的面积为y，则反映y与x的函数关系的图象是（　　）

A、

B、

C、

D、

Answer 1

分析：分0≤x＜2时；2≤x＜3，3≤x≤4三种情况，利用三角形的面积公式分别用含x的代数式表示S_△AQP，然后根据求得的解析式得到对应的函数图象即可得到答案．

解答：解：∵菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，
∴DB=2．
①当0≤x＜2时，过Q作QH⊥AB于H，

∵AQ=BP=x，
∴PQ=AB=2，
而∠A=60°，
∴QH=

3

2

x，
∴S_△AQP=

1

2

•2•

3

2

x=

3

2

x；
它的函数图象为射线；
②当2≤x＜3，如图，

过A作AH⊥DC于D，则AH=

3

，
DQ=x-2，PC=x-2，DP=4-x，
S_△APQ=S_△ADP-S_△ADQ-S_△PDQ
=

1

2

•

3

（4-x）-

1

2

•2•（x-2）•

3

2

-

1

2

•（x-2）（4-x）•

3

2

=

3

4

（x-5）²-

5 3

4

，
它的函数图象为抛物线对称轴左侧的一部分，并且开口向上，
③当3≤x≤4，如图，

S_△APQ=S_△ADQ+S_△PDQ-S_△ADP=

1

2

•2•（x-2）•

3

2

+-

1

2

•（x-2）（4-x）•

3

2

-

1

2

•

3

（4-x）=-

3

4

（x-5）²+

5 3

4

，
它的函数图象为抛物线对称轴左侧的一部分，并且开口向下；
所以选项A正确．
故选A．

点评：本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．