Question

（2012•合川区模拟）如图，规格为60cm×60cm的正方形地砖在运输过程中受损，断去一角，量得AF=30cm，CE=45cm，现准备从五边形地砖ABCDE上截出一个面积为S的矩形地砖PMBN，则S最大值是（　　）

A．1800

B．2700

C．2812

D．3375

Answer 1

分析：首先设矩形PNBM的边BN=xcm，NP=ycm，可得矩形PNBM的面积S=xy（30≤x≤60），然后过点P作PG⊥CD于G，利用相似三角形的性质，易求得y=-

1

2

x+75，然后又二次函数的最值问题，求得答案．

解答：解：设矩形PNBM的边BN=xcm，NP=ycm，
则矩形PNBM的面积S=xy（30≤x≤60），
∴CN=（60-x）cm，AM=（60-y）cm，
∵AF=30cm，CE=45cm，
∴ED=15cm，DF=30cm，
过点P作PG⊥CD于G，
∴PG∥DF，
∴△PEG∽△FED，
∴

EG

PG

=

ED

DF

，
即：

NP-CE

CN

=

ED

DF

，
∴

y-45

60-x

=

15

30

，
∴y=-

1

2

x+75，
∴S=xy=-

1

2

x²+75x（30≤x≤60），
∵此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=75，
∴当x≤75时，函数值是随x的增大而增大，
对30≤x≤60来说，当x=60时，S有最大值，
S_最大=-

1

2

×60²+75×60=2700（cm²）．
故选B．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质以及二次函数的性质．此题难度较大，注意掌握函数思想与数形结合思想的应用．