Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上的一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD.

(1)求证：BD平分∠ABC；

(2)当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD.

Answer 1

证明：(1)∵OD⊥AC，OD为半径，

∴∴∠CBD＝∠ABD，(4分)

∴BD平分∠ABC.(5分)

(2)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，

∴∠AOD＝∠OBD＋∠ODB＝30°＋30°＝60°.(7分)

又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA＝90°，

∴∠A＝180°－∠OEA－∠AOD＝180°－90°－60°＝30°.(9分)

又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，

则在Rt△ACB中，BC＝AB，∵OD＝AB，∴BC＝OD.(12分)