Question

已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=6，则易求BE=BP+PE=7．

解答：（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
在△AEB与△CDA中，

AB=CA ∠BAE=∠C    AE=CD

，
∴△AEB≌△CDA（SAS），
∴BE=AD；

（2）解：由（1）知，△AEB≌△CDA，则∠ABE=∠CAD，
∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABD=60°；

（3）解：如图，由（2）知∠BPQ=60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=

1

2

BP=3，
∴BP=6
∴BE=BP+PE=7，即AD=7．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．