Question

【题目】如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．

（1）试判断与的位置关系，并说明理由．

（2）若，，则的长为__________．

Answer 1

【答案】（1）相切，证明见解析；（2）．

【解析】

（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90，于是得到结论；

（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90，根据三角函数的定义即可得到结论．

（1）FG与⊙O相切，

理由：如图，连接OF，

∵∠ACB＝90，D为AB的中点，

∴CD＝BD，

∴∠DBC＝∠DCB，

∵OF＝OC，

∴∠OFC＝∠OCF，

∴∠OFC＝∠DBC，

∴OF∥DB，

∴∠OFG＋∠DGF＝180，

∵FG⊥AB，

∴∠DGF＝90，

∴∠OFG＝90，

∴FG与⊙O相切；

（2）连接DF，

∵CD＝2.5，

∴AB＝2CD＝5，

∴BC＝＝4，

∵CD为⊙O的直径，

∴∠DFC＝90，

∴FD⊥BC，

∵DB＝DC，

∴BF＝BC＝2，

∵sin∠ABC＝，

即，

∴FG＝．