Question

【题目】如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A，B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C，D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F，E，连接EF．
（1）点A的坐标为 ， 线段OB的长=；
（2）设点C的横坐标为m ①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；
②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．

Answer 1

【答案】
（1）（4，0）；5
（2）解：①∵点C的横坐标为m，且CF∥DE∥y轴，

∴C（m，m），F（m，m2﹣4m），

又∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，

∴D（m+ ，m+ ），E（m+ ，（m+ ）2﹣4（m+ ）），

∴CF=m﹣（m+ ），DE=m+ ﹣[（m+ ）2﹣4（m+ ）]，

∵当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，

∴m﹣（m+ ）=m+ ﹣[（m+ ）2﹣4（m+ ）]，

解得m= ；

②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，

∴AC=DG，

作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，

∴当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，此时AC+AD最短，

∵A（4，0），AG=CD=2，

∴A'（0，4），G（4+ ， ），

设直线A'G的解析式为y=kx+b，则

，解得 ，

∴直线A'G的解析式为y=﹣ x+4，

解方程组 ，可得 ，

∴D（2+ ，2+ ），

∵CD=2，且CD是线段OB上的一动线段，

∴C（2﹣ ，2﹣ ），

∴点C的横坐标m=2﹣ ，

由A（4，0），C（2﹣ ，2﹣ ）可得，AC= =3，

由A（4，0），D（2+ ，2+ ）可得，AD= =3，

又∵CD=2，

∴△ACD的周长=CD+AC+AD=2+3+3=8，

故当m=2﹣ 时，△ACD的周长最小，这个最小值为8．

【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x， 解得x1=0，x2=4，
∴A（4，0），
解方程组 ，可得
或 ，
∴B（5，5），
∴OB= =5 ．
所以答案是：（4，0），5 ；
（1）根据y=x2﹣4x中，令y=0，则0=x2﹣4x，可求得A（4，0），解方程组 ，可得B（5，5），进而得出OB的长；（2）①根据C（m，m），F（m，m2﹣4m），可得CF=m﹣（m+ ），根据D（m+ ，m+ ），E（m+ ，（m+ ）2﹣4（m+ ）），可得DE=m+ ﹣[（m+ ）2﹣4（m+ ）]，最后根据当四边形CDEF是平行四边形时，CF=DE，求得m的值即可；②先过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，得出AC=DG，再作点A关于直线OB的对称点A'，连接A'D，则A'D=AD，根据当A'，D，G三点共线时，A'D+DG=A'G最短，可得此时AC+AD最短，然后求得直线A'G的解析式为y=﹣ x+4，解方程组可得D（2+ ，2+ ），C（2﹣ ，2﹣ ），最后根据两点间距离公式，求得△ACD的周长的最小值．
【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点和平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．