Question

【题目】在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；

（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴△AMN ∽△ABC．

∴，即．

∴AN＝x．

∴=．（0＜＜4）

（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO="OD" =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

由（1）知 △AMN ∽△ABC．

∴，即．

∴，

∴．

过M点作MQ⊥BC于Q，则．

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴△BMQ∽△BCA．

∴．

∴，

．

∴x＝．

∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴△AMO ∽△ABP．

∴． AM＝MB＝2．

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜≤2时，．

② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形，

∴PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN＝BM＝4－x．

∴．

又△PEF ∽△ACB．

∴．

∴．

＝．

【解析】

解：（1）∵MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC．

∴， 即．

∴ AN＝x．

∴．……………………………… 2分

（2）如图2，作OD⊥BC于点D，当OD =MN时，⊙O与直线BC相切．

在Rt△ABC中，BC ==10．

由（1）知 △AMN ∽△ABC．

∴，即．

∴ MN=．

过M点作ME⊥BC 于点E，

∵sinB=，∴．

∴．

∴，解得．

∴当时，⊙O与直线BC相切． ………………… 4分

（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，如图3，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，

∴，即 AM=MB=4．

故分以下两种情况讨论：

①当0＜≤4时，．

∴ 当=4时，．……………… 5分

②当4＜＜8时，如图4，设PM、PN分别交BC于E、F．

∵ 四边形AMPN是矩形， ∴ PN∥AM，PN=AM=x．

又∵ MN∥BC， ∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN=BM=8－x．

∴PF="PN–FN" =" x" -(8 - x) =" 2x" -8．

又△PEF∽△ACB，∴．

∴．

∴＝ ．

∵ 二次项系数，且当时，满足4＜＜8，

∴．…………………………………………………………………………… 6分

综上所述，当时，值最大，最大值是8． …………………… 7分