题目内容

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=4cm，AD=BC= $数学公式$ cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向终点D运动．如果P、Q同时出发．运动时间为t秒（0≤t≤4）．
（1）当四边形APQD为平行四边形时，求t的值；
（2）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
（3）当△ADP为直角三角形时，求t的值．

解：（1）根据题意得：AP=2t，CQ=t，
∴DQ=4-t，
要使APQD是平行四边形，
则必有AP=DQ，
∴2t=4-t，
解得：t= $\text{[math]}$ ，
答：当四边形APQD是平行四边形时，t的值为 $\text{[math]}$ ；

（2）过点D作DE⊥AB于E，则AE= $\text{[math]}$ =2cm，

当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，PQ⊥AB，
此时AP+CQ=AE+DC=2+4=6（cm），
即2t+t=6，
解得：t=2，
答：当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，t的值为2；

（3）①当∠APD=90°时，AP=2，即2t=2，则t=1；
②当∠ADP=90°时，AD²+DP²=AP²，
∵AD= $\text{[math]}$ cm，AP=2t，DE= $\text{[math]}$ =3，
∴DP²=DE²+EP²=3²+（2t-2）²，
∴13+9+（2t-2）²=（2t）²，
解得：t= $\text{[math]}$ ，
答：当△ADP是直角三角形时，t的值为1或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先根据题意可得AP=2t，CQ=t，然后由四边形APQD为平行四边形时，AP=DQ，即可得方程2t=4-t，解此方程即可求得t的值；
（2）首先过点D作DE⊥AB于E，即可求得AE的长，由当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，PQ⊥AB，即可得方程2t+t=6，解此方程即可求得t的值；
（3）分别从当∠APD=90°与当∠ADP=90°去分析，利用勾股定理构造方程，解方程即可求得t的值，小心别漏解．
点评：此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的性质，直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．