Question

【题目】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的图像与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点C在直线上，将抛物线沿射线 AC的方向平移，

当顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）求平移过程中线段BC所扫过的面积；

（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点 C、E、F、G 为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标．

Answer 1

【答案】 (1)抛物线的解析式为;(2)12; (3)满足条件的点有F1（，0），F2（，0），F3(，0)，F4(，0).

【解析】分析：（1）根据对称轴方程求得b=﹣4a，将点A的坐标代入函数解析式求得9a+3b+3=0，联立方程组，求得系数的值即可；

（2）抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，根据二次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积得到：∴．

（3）联结CE．分类讨论：（i）当CE为矩形的一边时，过点C作CF1⊥CE，交x轴于点F1，设点F1（a，0）．在Rt△OCF1中，利用勾股定理求得a的值；

（ii）当CE为矩形的对角线时，以点O为圆心，OC长为半径画弧分别交x轴于点F3、F4，利用圆的性质解答．

详解：（1）∵顶点C在直线x=2上，∴，∴b=﹣4a．

将A（3，0）代入y=ax2+bx+3，得：9a+3b+3=0，解得：a=1，b=﹣4，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）过点C作CM⊥x轴，CN⊥y轴，垂足分别为M、N．

∵y=x2﹣4x+3═（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）．

∵CM=MA=1，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°，∴OD=OA=3．

∵抛物线y=x2﹣4x+3与y轴交于点B，∴B（0，3），∴BD=6．

∵抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，∴．

（3）联结CE．

∵四边形BCDE是平行四边形，∴点O是对角线CE与BD的交点，即 ．

（i）当CE为矩形的一边时，过点C作CF1⊥CE，交x轴于点F1，设点F1（a，0）．在Rt△OCF1中，，即 a2=（a﹣2）2+5，解得： ，∴点．

同理，得点；

（ii）当CE为矩形的对角线时，以点O为圆心，OC长为半径画弧分别交x轴于点F3、F4，可得： ，得点、．

综上所述：满足条件的点有），．