Question

【题目】如图，已知直线AB与正比例函数的图象交于点，与y轴交于点．点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，以点P为顶点，作长方形PDEF，满足轴，且，．

（1）求k的值及直线AB的函数表达式，并判定时，点E是否落在直线AB上；

（2）在点P运动的过程中，当点F落在直线AB上时，求t的值；

（3）在点P运动的过程中，若长方形PDEF与直线AB有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）,直线AB的函数表达式为, 当时，点E落在直线AB上；（2）；（3）若长方形PDEF与直线AB有公共点，则t的取值范围为．

【解析】

（1）根据待定系数法即可求得k值及直线AB的函数表达式，然后根据题意求得E的坐标，当然直线AB的解析式即可判断E在直线AB上；

（2）根据直线OA的解析式得出P的坐标，根据题意求得F的坐标，代入直线AB的解析式，即可求得t的值；

（3）表示出D的坐标，代入直线AB的解析式，求得t的值，再结合（1）即可求得矩形PDEF与直线AB有公共点时的t的取值范围．

（1）将代入，得：，解得：．

因为直线AB与y轴交于点，所以可设直线AB的函数表达式为，将代入，得，解得，所以直线AB的函数表达式为．

当时，点P的坐标为，所以点E的坐标为，把代入，得：，所以当时，点E落在直线AB上．

（2）因为点P为直线OA上，所以点P的坐标为，所以．

把代入，得：，解得：．

（3）在点P沿直线向下运动的过程中，当点F位于直线AB上时，长方形PDEF与直线AB有一个公共点，由（2）知，此时．

若点P继续向下运动，则长方形PDEF与直线AB不再有公共点．

在点P沿直线向上运动的过程中，当点D位于直线AB上时，长方形PDEF与直线AB有一个公共点，易知点，把代入，得：，解得：．

若点P继续向上运动，则长方形PDEF与直线AB不再有公共点．

综上可知：若长方形PDEF与直线AB有公共点，则t的取值范围为．