题目内容
某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为
元；③拆去1m旧墙，用所得材料建造1m新墙的费用为
元．经过讨论有两种方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形厂房一面的边长；（Ⅱ）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x（x≥14）．问：如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（Ⅰ）（Ⅱ）两种方案哪个更好？
【答案】分析：由已知条件根据各自的费用分别列出两个函数关系式，利用相关知识计算出各自的最少费用，进行比较后答案可得．
解答：解：设利用旧墙的一面矩形边长为xm，则矩形的另一边长为
m．
（Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•
元，
将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为（14-x）•
元，其余建新墙的费用为（2x+
-14）•a元．
故总费用为
y=x•
+
•a+（2x+
-14）•a=a（
x+
-7）=7a（
-1）．（0＜x＜14）
∴y≥7a[2
-1]=35a．当且仅当
，即x=12m时，ymin=35a（元）；
（Ⅱ）若利用旧墙的一面矩形边长为x≥14，则修旧墙的费用为
•14=
a元，建新墙的费用为（2x+
-14）a元．
故总费用为y=
a+（2x+
-14）a=
a+2a（x+
-7）（x≥14）．
设14≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2＞196．
则（x1+
）-（x2+
）=（x1-x2）（1-
）
∴函数y=x+
在区间[14，+∞]上为增函数．
故当x=14时，ymin=
a+2a（14+
-7）=35.5a＞35a．
综上讨论可知，采用第（Ⅰ）方案，建墙总费用最省，为35a元．
点评：本题考查了一次函数的综合应用；找出关系列出函数关系式后寻找得到各自的最小值是正确解答本题的关键．
解答：解：设利用旧墙的一面矩形边长为xm，则矩形的另一边长为
m．（Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•
元，将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为（14-x）•
元，其余建新墙的费用为（2x+-14）•a元．故总费用为
y=x•
+•a+（2x+-14）•a=a（x+-7）=7a（-1）．（0＜x＜14）∴y≥7a[2
-1]=35a．当且仅当，即x=12m时，ymin=35a（元）；（Ⅱ）若利用旧墙的一面矩形边长为x≥14，则修旧墙的费用为
•14=a元，建新墙的费用为（2x+-14）a元．故总费用为y=
a+（2x+-14）a=a+2a（x+-7）（x≥14）．设14≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2＞196．
则（x1+
）-（x2+）=（x1-x2）（1-）∴函数y=x+
在区间[14，+∞]上为增函数．故当x=14时，ymin=
a+2a（14+-7）=35.5a＞35a．综上讨论可知，采用第（Ⅰ）方案，建墙总费用最省，为35a元．
点评：本题考查了一次函数的综合应用；找出关系列出函数关系式后寻找得到各自的最小值是正确解答本题的关键．
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